Зворотній з теоремою Салема та Зигмунда

5 і U (ν O, z) скінченний у всіх точках. Нагадаємо, що безперервність ν O означає, що ν O () = для всіх x (тобто ν O не має точкових мас). Доказ. Нехай O = j = 1 (aj, bj), де (aj, bj) s не перетинаються, і встановіть K n = nj = 1 [aj + 1/n, bj 1/n] (пропустити j-й доданок, якщо aj + 1/nbj 1/n). Це компактний набір логарифмічної ємності, такий що [x 2δ, x + 2δ] O. Тоді [x 2δ, x + 2δ] K n для всіх nn, а на множині [x 2δ, x + 2δ] (насправді на весь набір K n) послідовність nn є спадною послідовністю заходів ([1, теорема IV.1.6 (e)]). З них випливає, що ν O є абсолютно неперервним на (x 2δ, x + 2δ), а на (x δ, x + δ) маємо wnw O (x), де w O - щільність ν O. Отже, монотонним теорему збіжності, маємо як n, n N, x + δ x δ log xt dν n (t) x + δ x δ log xt dν O (t). З іншого боку, згідно з тим, що ми щойно сказали ν n R \ [x δ, x + δ] ν OR \ [x δ, x + δ] в слабкій топології як n, n N, отже, R \ [x δ, x + δ] log xt dν n (t) R \ [x δ, x + δ] Таким чином, ми довели, що вздовж послідовності n N log xt dν n (t) log xt dν O (t), і то (3) випливає з (4). Оскільки, згідно з теоремою Фростмана, log z t dν n (t) log cap (k n) log x t dν O (t). для всіх z можна легко зробити висновок, що U (ν O, z) скрізь скінченна. Нарешті, з кінцевості U (ν O, z) при кожному z випливає, що ν O є неперервною мірою, тобто вона не має атомів: ν O () = для всіх x R. 5

14 Інститут Вільмоса Тотіка Боляя MTA-SZTE Дослідницька група з аналізу та стохастики Університет Сегеда Сегед Араді проти Тере 1, 672, Угорщина та Департамент математики та статистики Університету Південної Флориди 422 E. Fowler Ave, CMC342 Тампа, Флорида, США 14