Про облік вільної від випаровування або інфільтрації поверхні в деяких проблемах теорії фільтрації

Береславський Едуард Наумович * та Дудіна Лілія Михайлівна

Санкт-Петербурзький державний університет цивільної авіації, Росія

Береславський Едуард Наумович, Санкт-Петербурзький державний університет цивільної авіації, Росія.

Дата отримання: 14 червня 2019 р .; Дата публікації: 27 червня 2019 р

Анотація

Досліджуються такі фільтраційні потоки з невідомими вільними межами:

• у разі протікання повз канавки Жуковського у випадку, коли шар ґрунту підкладений по всій довжині з непроникною основою і відбувається випаровування із вільної поверхні;

• у разі протікання по проточці Жуковського у випадку, коли підстилаючий шар є повністю добре проникним водоносним шаром і інфільтрація відбувається на вільній поверхні;

• коли підземні води рухаються у прямокутному мосту з частково непроникною вертикальною стіною за наявності випаровування із вільної поверхні;

• коли підземні води рухаються до недосконалої галереї за наявності випаровування з вільної поверхні.

Вступ

В рамках теорії рівнинної встановленої фільтрації несжимаемой рідини за законом Дарчі в однорідному та ізотропному ґрунті розглядаються деякі завдання, пов'язані з течіями за наявності випаровування або інфільтрації на вільній поверхні надрних вод.

Течії на потоці жолобка Жуковського

Завдання про течію канавки вперше було вивчене Н.Е. Жуковського [1], де введений метод Кірхгофа, змінений ним у теорії потоків, був використаний для вирішення завдань із вільною поверхнею та спеціальною аналітичною функцією, яка широко використовується в теорії фільтрації. Оскільки функція, а завдання і паз мають ім'я Жуковського [2–6]. Робота [1] відкрила можливість математичного моделювання руху надрних вод під жолобком Жуковського і заклала основу для досліджень зазначеного класу фільтраційних струмів (див., Наприклад, огляди [2- 6]).

Слід зазначити, що в завданнях на протікання жолобка Жуковського застосування функції Жуковського лише тоді призводить до ефективних результатів, коли крім вільної поверхні межа кордону течії містить лише горизонтальні лінії рівного потенціалу та вертикальні лінії струм (В. В. Ведерников, Ф. Б. Нельсон Фур’єр, С. Н. Нумеров, В. І. Аравін та ін.). Однак на практиці гідротехнічне будівництво [2-5], зрошуване землеробство [2,4,7] та ін. Безпосередньо під покривними відкладеннями поряд з горизонтальними напірними водоносними шарами більш високої проникності [7], а також горизонтальні водонепроникні включення часто що радикально впливає на характер фільтраційних струмів [8–12].

Водночас поки що немає робіт, присвячених спеціальному дослідженню впливу випаровування або інфільтрації на процеси фільтрації. Облік цих важливих фізичних факторів на сьогоднішній день не став загальним надбанням точних аналітичних рішень.

У представленій роботі на прикладі двох граничних схем фільтрації, що виникають при потоці жолобка Жуковського, вивчається вплив випаровування або інфільтрації на поточну картину.

Перша гранична схема відповідає випадку, коли шар землі на всій протяжності поширюється непроникною горизонтальною основою і з вільної поверхні відбувається рівномірне випаровування інтенсивності ε (0

У другій граничній схемі шар землі поширюється добре проникним напірним водоносним шаром, в якому тиск має постійне значення H0, а на вільній поверхні відбувається рівномірне проникнення інтенсивності ε [13-16]. Далеко від жолобка (при x → ∞) крива западини горизонтальна і розташована на висоті H0 над водоносним шаром (рис. 1 (b)).

Струми у прямокутній перемичці з частково непроникною вертикальною стіною та до недосконалої галереї

Точне рішення задачі на приплив рідини до недосконалої свердловини за допомогою залитого фільтра (тобто осесиметричне завдання) або трубчастої свердловини, що представляє собою непроникну трубу з фільтром у деякій (зазвичай нижній) його частині, пов'язане з великими математичними труднощами і поки що не знайдено. Тому свого часу як перше наближення до вирішення подібних завдань П.Я. Полубарінова- Кочина, В.Г. Пряжинська, В.А. Постнов та В.Н. Еміх [2,6,7,17,18] розглянув деякі відповідні плоскі аналоги завдання щодо фільтрації у прямокутній перемичці з частково непроникною вертикальною стіною та до недосконалої галереї. Слід зазначити, що області значень комплексної швидкості у зазначених випадках дозволяють застосовувати за допомогою інверсії розчин формули Крістоффеля-Шварца.

У роботі наведено точне аналітичне рішення задачі на течію надрних вод у прямокутній перемичці з ухилами A0A1 та D0B, шириною L, розташованою на непроникній горизонтальній основі довжини L. Висота води дорівнює у верхньому довічі H, нижня досягає рівня води H2, маючи частково непроникну вертикальну стінку CD (екран), прилягає до підошви основи. Верхня межа площі руху - вільна поверхня AD, що виходить, з якою відбувається рівномірне випаровування до інтенсивності ε (рис. 2). У розглянутій області комплексної швидкості, на відміну від [2,6,7,17,18], є не прямолінійні, а кругові багатокутники, що не дає можливості використовувати класичний інтеграл Крістоффеля-Шварца.

Рішення завдання на струм до недосконалої свердловини формально виходить із рішення завдання на фільтрацію в прямокутній перемичці з частково непроникною вертикальною стінкою у разі її нескінченної ширини, тобто при L = ∞ [19,20].

Техніка рішень

Для вивчення зазначених струмів за наявності випаровування або інфільтрації на вільній поверхні змішана кратна параметрична крайова задача теорії аналітичних функцій, рішення якої здійснюється із застосуванням методу П.Я. Полубарінова-Кочина [2-7] на основі застосування аналітичної теорії лінійних диференціальних рівнянь класу Фукса. А також [21-23] способи конформного відображення особливого типу кругових багатокутників [24], розроблені для областей, що є дуже типовими для завдань теорії фільтрації. Облік характеристик розглянутих класів областей годографа швидкості дозволив представляти рішення задач у закритому вигляді через елементарні функції, що робить їх використання найпростішим та зручнішим на практиці.

Висновок

На основі досліджуваної моделі розроблені алгоритми розрахунку:

• висоти підняття надрної води за жолобком Жуковського при ній обтекання, ширина капілярного розтікання рідини на водяному упорі (на схемі 1), а також значення витрати на фільтрацію;

• ординати точки виходу кривої западини на екрані, витрати на фільтрацію та координати точок вільної поверхні при фільтруванні в прямокутній перемичці та до недосконалої галереї.

• Отримані результати дають уявлення (принаймні якісно) про можливу залежність характеристик струму шляхом фільтрування врахування вже до недосконалої свердловини або трубчастої свердловини.