Функціональна алгебра та гіперкалькул у нескінченних вимірах: гіперінтеграли, гіперфункціонали та гіперпохідні

Марк Бургін
UCLA, Каліфорнія, США

Серія: Теоретична та прикладна математика
BISAC: MAT003000, MAT002000

Теорія гіперчислів та позафункцій є подальшим розвитком теорії розподілу, натхненної сучасною фізикою та під впливом проблем математичної фізики. Це робить більше функцій диференційованими та забезпечує нові види похідних та гіперпохідних, спрямованих на вирішення більшої кількості диференціальних та операторних рівнянь, ніж будь-коли раніше.

У книзі надфункції поширюються на гіперфункціонали та гіпероператори у нескінченновимірних векторних просторах. Завдяки своєму розвитку багато проблем у сучасній фізиці, а також у сучасному лінійному та нелінійному аналізі мають нескінченновимірну природу, а нескінченновимірна теорія екстрафункцій, гіперфункціоналів та гіпераператорів пропонує нові інструменти для вирішення багатьох із цих задач.

У книзі описуються нові математичні структури, такі як гіперпохідні та гіперінтеграли реальних та складних функцій, гіпермовірність та надвизначеність випадкових процесів та деякі інші, що суттєво збільшує потужність функціонального аналізу та додатків імовірностей. У ньому представлені ключові частини числення - системи числення, функціональні простори, диференціальне числення та інтегральне числення - в постановці гіперчислів, екстрафункцій, гіперфункціоналів та гіпераператорів у скінченновимірних та нескінченновимірних векторних просторах. Крім того, розроблена функціональна алгебра, яка використовує алгебраїчні операції з екстрафункціями, гіперфункціоналами та гіпероператорами. Пояснено нові взаємозв'язки між гіпердиференціацією та безперервністю функцій та операторів. Оскільки диференціація та інтеграція є особливими випадками гіпердиференціації та гіперінтеграції, відповідно, гіперкалькуляція включає числення як свою частину або підтеорію.

Цю книгу можна використовувати для вдосконалення традиційних курсів обчислення для студентів, а також для викладання окремих курсів для аспірантів та студентів у коледжах та університетах. Для досягнення цих цілей виклад у книзі переходить від простих тем до все більш і більш вдосконалених тем, тоді як докази деяких тверджень залишаються як вправи для студентів. (Вихідні дані: Nova)

Деталі

Зміст

Глава 1. Вступ: виклики нескінченності

Глава 2. Гіперпростори чисел над нормованими полями

Глава 3. Гіперфункціонали та гіпероператори як екстрафункції

Глава 4. Гіпердиференціація як гіпероператор

Глава 5. Гіперінтеграція як гіперфункціонал

Глава 6. Гіпермовірність як комплексна характеристика випадкових явищ

Розділ 7. Висновок: нові можливості

Додаток: Позначення та рудиментарні конструкції

Список літератури

201-212.
Бургін, М. (2004) Гіперфункціонали та узагальнені розподіли, в Стохастичні процеси та функціональний аналіз, Серія лекцій Деккера з чистої та прикладної математики, т. 238, с. 81 - 119.
Бергін, М. (2004a) Нечітка оптимізація реальних функцій, Міжнародний журнал про невизначеність, нечіткість та системи, засновані на знаннях, т. 12, No 4, с. 471-497.
Бургін, М. Єдині основи математики, Препринт Математика LO/0403186, 2004b, 39 с. (електронне видання: http://arXiv.org).

Бургін, М. (2005) Гіперзаходи в загальних просторах, Міжнародний журнал чистої та прикладної математики, т. 24, с. 299-323.
Бургін, М. Суперрекурсивні алгоритми, Спрінгер, Нью-Йорк/Гейдельберг/Берлін, 2005а.
Бургін, М. (2005b) Топологія в нелінійних продовженнях гіперчисел, Дискретний Dyn. Нат. Соц., т. 10, No 2, с. 145-170.
Бургін, М. Нечітка неперервність у масштабованій топології, Препринт з математики,

math/0512627 (предмети: math.GN; math-ph), 2005c, 30 с. (електронне видання: http://arXiv.org).
Бергін, М. (2005d) Повторні точки нечітких динамічних систем, Журнал динамічних систем та геометричних теорій, т. 3, No 1, с. 1-14.
Бургін, М. (2006) Масштабовані топологічні простори, 5-е Щорічна міжнародна конференція зі статистики, математики та суміжних галузей, Матеріали конференції 2006 р., Гонолулу, Гаваї, с. 1865-1896.
Бургін, М. (2007) Елементи недіофантової арифметики, 6-е Щорічна міжнародна конференція зі статистики, математики та суміжних галузей, Матеріали конференції 2007 р., Гонолулу, Гаваї, січень, с. 190-203.
Бургін, М. Неокласичний аналіз: Числення ближче до реального світу, Nova Science Publishers, Нью-Йорк, 2008.
Бургін М. (2008a) Нерівності в рядах та підсумовування в гіперчислах, в Досягнення нерівностей для серій, Nova Science Publishers, Нью-Йорк, стор. 89-120.
Бургін, М. (2008b) Гіперінтеграційний підхід до інтегралу Фейнмана, Інтеграція: Математична теорія та додатки, т. 1, с. 59-104.
Бургін, М. Розширені ймовірності: Математичні основи, Препринт з фізики,

math-ph/0912.4767, 2009 (електронне видання: http://arXiv.org).
Бергін, М. (2010) Нелінійні диференціальні рівняння в частинних похідних у позафункціональних системах, Інтеграція: Математична теорія та додатки, т. 2, с. 17-50.
Бургін, М. (2010a) Інтеграція в пачках з гіперпросторовою базою: невизначена інтеграція, Інтеграція: Математична теорія та додатки, т. 2, с. 395 - 435.
Бургін, М. Вступ до проективної арифметики, Препринт з математики,

math.GM/1010.3287, 2010b, 21 с. (електронне видання: http://arXiv.org).
Бургін, М. Інтерпретації негативних ймовірностей, Препринт з квантової фізики,

quant-ph/1008.1287, 2010c, 17 с. (електронне видання: http://arXiv.org).
Бургін, М. Теорія іменних множин, Nova Science Publishers, Нью-Йорк, 2011.
Бургін, М. Диференціація в пучках з гіперпросторовою базою, Препринт з математики,

Прентис Холл, Енглвудські скелі, Нью-Джерсі, 2002.
Едзава Х. та Зунето Т. (За ред.) Перспективи квантової фізики, Іванамі Шотен, Токіо, 1977 рік.
Єфремович, В. А. (1951) Нескінченно малі простори, Докл. Акад. Наук УРСР, т. 76, с. 341–343 (російською мовою).
Єгоров, Ю. В. (1990) Внесок у теорію узагальнених функцій, Російська математика. Опитування, т. 45, с. 1-49 (переклад з російської).
Єгоров, Ю. В. (1990а) Про узагальнені функції та лінійні диференціальні рівняння, Вестник Московського ун-ту., Сер. 1, т. 2, с.96 - 99 (російською мовою).
Ehrlich, P. (1982) Негативні, нескінченні та гарячіші від нескінченних температур, Синтез, т. 50, No.

Лекції з загальної алгебри, Челсі П. С., Нью-Йорк, 1963.
Курц, Д. С. та Свартц, К. В. Теорії інтеграції, World Scientific, Нью-Йорк/Лондон/Сінгапур, 2010.
Курцвейл, Дж. Інтеграція між інтегралом Лебега та інтегралом Хеншток-Курцвейла: Його відношення до локально опуклих векторних просторів, Серія «Реальний аналіз», т. 8, World Scientific, Нью-Джерсі/Лондон/Сінгапур, 2002.
Кузнєцов, В. П. (1991) Інтервальні статистичні моделі, Публікація "Радіо і зв'язок", Москва, Росія (російською мовою)
Лейк, Дж. (1976) Набори, нечіткі множини, мультимножини та функції, Дж. Лондонська математика. Соц., II сер., Т. 12, с. 323–326.Таотечінг Лао-Цзи, Переклад: Портер, Б. (він же Червона сосна), Copper Canyon Press, Порт Таунсенд, Вашингтон, 1996 р.
Лаплас, П. (1774) Mémoire sur la probabilité des причин пар les événements, Mémoires de l’Académie royale des Sciences de MI (Savants étrangers), т. 4, с. 621–656.
Лаплас, П. (1785) Mémoire sur les apprimections des formules qui sont fonctions de treè grands nombres, Mémoires de l’Académie royale des Sciences de Paris, С. 423–467.
Лаугвіц Д. (1960) Anwendungen unendlich kleiner Zahlen, I, Дж. Рейн Енджу. Математика., т. 207, с. 53–60.
Лаугвіц, Д. (1961) Anwendungen unendlich kleiner Zahlen, II, Дж. Рейн Енджу. Математика.,

Математика істини і доказу

Бусефал

, No 36, с.30-38.
Ціммерманн, Х. Дж. Теорія нечітких множин та її застосування, Kluwer Academic Publishers, Бостон, Массачусетс, 2001.
Зіппін, Л. Використання нескінченності, Нова математична бібліотека, Публікації Дувра, Нью-Йорк, 2000.
Žižek, S., Crockett, C. and Davis, C. (Eds.), Гегель і нескінченне: релігія, політика та діалектика, Колумбійський університет, 2011.