Розрахунки синусоїдального стаціонарного стану

Давайте заглибимося в поняття потужності змінного струму, як розрахувати миттєву потужність, середню потужність, реактивну потужність, складну потужність та коефіцієнт потужності. Ми також поговоримо про взаємозв'язок кожної концепції між собою.

Миттєва потужність

Ми розпочинаємо дослідження розрахунків синусоїдальної потужності із загальної схеми на рис. 1.1. Тут, v і i є стаціонарними синусоїдальними сигналами. Використовуючи пасивний знак (PSC), потужність у будь-який момент часу надається:

технічні

Рисунок 1.1 Зображення схеми, що використовується для розрахунку потужності.

Рівняння 1.1 описує миттєва потужність. Нагадаємо, що якщо опорний напрямок струму знаходиться у напрямку підвищення напруги, рівняння 1.1 потрібно писати зі знаком мінус. Миттєва потужність завжди вимірюється у ватах, коли напруга вимірюється у вольтах, а сила струму - в амперах. Два вирази фазових кутів v і i пишуться як

$$ v = V_ \ cos (\ omega t + \ theta _), $$ (1.2)

$$ i = I_ \ cos (\ omega t + \ theta _), $$ (1,3)

У цих двох виразах $$ \ theta _ $$ - фазовий кут напруги, а $$ \ theta _$$ - поточний фазовий кут.

Під час роботи в синусоїдальному сталому режимі може бути обраний зручний орієнтир для нульового часу. Інженерам, які розробляють системи, що передають велику кількість енергії, було зручно використовувати нульовий час, який відповідає моменту, коли струм проходить через позитивний максимум. Вибравши такий контрольний час, зсув напруги та струму на $$ \ theta _$$ потрібно. Тепер, рівняння 1.2 та 1.3 стають

$$ v = V_ \ cos (\ omega t + \ theta _ - \ theta _) $$ (1,4)

$$ i = I_ \ cos (\ omega t) $$ (1,5)

Якщо рівняння 1.4 і 1.5 підставляються в рівняння 1.1, вираз для миттєвої потужності стає тепер

$$ p = V_I_ \ cos (\ omega t + \ theta _ - \ theta _) \ cos (\ omega t) $$ (1.6)

Рівняння 1.6 можна використовувати для визначення середньої потужності такою, якою вона є; однак, застосовуючи кілька простих тригонометричних тотожностей, рівняння миттєвої потужності можна спростити. Використання продукту косинуса дає ідентичність

$$ \ cos (\ alpha) \ cos (\ beta) = \ frac \ cos (\ alpha - \ beta) + \ frac \ cos (\ alpha + \ beta) $$

Дозволяючи $$ \ alpha = \ omega t + \ theta _- \ theta _$$ та $$ \ beta = \ omega t $$ забезпечує

$$ p = \ fracI _> \ cos (\ theta _- \ theta _) + \ fracI _> \ cos (2 \ omega t + \ theta _- \ theta _) $$ (1,7)

Нарешті, використовуючи тотожність косинуса з сумою кута

$$ \ cos (\ alpha + \ beta) = \ cos (\ alpha) \ cos (\ beta) - \ sin (\ alpha) \ sin (\ beta) $$

розширити другий доданок у правій частині рівняння 1.7, що дає

$$ p = \ frac >> \ cos (\ theta _- \ theta _) + \ fracI _> \ cos (\ theta _- \ theta _) \ cos (2 \ omega t) - \ fracI _> \ sin (\ theta _- \ theta _) \ sin (2 \ омега т) $$ (1,8)

Зв'язок між струмом, потужністю та напругою

На малюнку 1.2 нижче показано взаємозв'язок між i, v, і стор, припускаючи, що $$ \ theta _ = 60 ^ $$ і $$ \ theta _= 0 ^ $$. Частота миттєвої потужності вдвічі перевищує частоту струму або напруги. Це зображення також випливає з двох других термінів у правій частині рівняння. 1.8. Це означає, що миттєва потужність проходить два повних цикли для кожного циклу струму або напруги. Якщо поглянути на рис. 1.2, миттєва потужність може бути від’ємною для частини кожного циклу, навіть якщо мережа між терміналами пасивна. У пасивній мережі ця негативна потужність означає, що енергія, що зберігається в котушках індуктивності або конденсаторах, зараз витягується. Хоча миттєва потужність змінюється з часом у синусоїдальному стаціонарному стані ланцюга, це спричиняє певні вібрації у деяких електроприводах. Через цю вібрацію в цих приладах необхідні еластичні кріплення двигуна, щоб зменшити надмірну вібрацію.

Рисунок 1.2 Миттєва потужність, сила струму та напруга в порівнянні з кутовою частотою

Середня та реактивна потужність

Рівняння 1.8 тепер можна використовувати для знаходження середньої потужності на клемах схеми, а також для встановлення концепції реактивної потужності. Зазначивши, що рівняння має три доданки, його можна переписати як

$$ p = P + P \ cos (2 \ omega t) -Q \ sin (2 \ omega t), $$ (1.9)

Середня (реальна) потужність $$ P = \ fracI _> \ cos (\ theta _- \ theta _) $$ (1,10)

Реактивна потужність $$ Q = \ fracI _> \ sin (\ theta _- \ theta _) $$ (1,11)

P називається середня потужність, а Q називається реактивної потужності. Середня потужність також відома як реальна влада, оскільки це фактична потужність в ланцюзі, яка перетворюється з електричної на неелектричну. Середня потужність, пов'язана з синусоїдальними сигналами, є середньою величиною миттєвої потужності за один період, або

Де Т - період змінної функції синусоїди. Межі інтегралу вказують на те, що інтегрування може бути здійснено в будь-який зручний час $$ t _ $$, а інтеграція повинна бути обмежена рівно на один період пізніше. Щоб зрозуміти краще розуміння всіх термінів у рівнянні 1.9 та відносини, які вони мають, нам потрібно буде вивчити потужність в ланцюгах, які є чисто резистивними, суто індуктивними та суто ємнісними.

Чисто резистивні схеми

Якщо ланцюг між клемами є суто резистивною, струм і напруга знаходяться у фазі $$ (\ theta _ = \ theta _) $$. Таким чином, рівняння 1.9 можна зменшити до

$$ p = P + P \ cos (2 \ omega t) $$ (1.13)

Це називається миттєва реальна потужність. Рисунок 1.3 - графік миттєвої реальної потужності для чисто резистивного контуру, припускаючи $$ \ omega = 377 \ mathrm< rad/s>$$. Середня потужність P - це середнє значення p за один період. Це можна побачити, подивившись на графік, де Р = 1 для схеми. З рис. 1.3 миттєва реальна потужність ніколи не може бути від’ємною; іншими словами, живлення не може бути відключене від чисто резистивної мережі. Хоча потужність не може бути вилучена, проте вона розсіюється у вигляді теплової енергії.

Рисунок 1.3 Миттєва реальна потужність та середня потужність суто резистивної схеми

Чисто індуктивні схеми

Тепер, якщо ланцюг між клемами є суто індуктивною, струм і напруга виходять за межі фази на $ 90 ^. $$ Струм ланцюга відстає від напруги на $ 90 ^ $$ $$ (\ theta _= \ theta _-90 ^). $$ Рівняння миттєвої потужності можна звести до

$$ p = -Q \ sin (2 \ omega t) $$ (1.14)

У цій чисто індуктивній схемі середня потужність дорівнює нулю. Це означає, що не відбувається перетворення енергії з електричної в неелектричну. Потужність на клемах постійно обмінюється ланцюгом та джерелом живлення, що рухає ланцюг, на частоті $$ 2 \ omega. $$ Що це означає, це те, що коли р позитивне, енергія накопичується в магнітних полях, пов'язаних з індуктивні елементи, а коли p від’ємне, енергія відводиться від магнітних полів.

Потужність, пов'язана із суто індуктивними ланцюгами, відома як реактивна потужність Q. Реактивна потужність походить від характеристики індуктора як реактивного елемента. Щоб розрізнити середню потужність та реактивну потужність, одиниці ват (Вт) для середньої потужності та змінний (вольт-ампер реактивний, або VAR) для реактивної потужності використовуються. На рисунку 1.4 зображена миттєва потужність для чисто індуктивної схеми, припускаючи $$ \ omega = 377 \ mathrm< rads/s>$$ і Q = 1 VAR.

Рисунок 1.4 Миттєва реальна потужність, середня потужність та реактивна потужність для суто індуктивної схеми

Чисто ємнісні схеми

У цьому суто ємнісному ланцюзі струм і напруга складають $ 90 ^ $$ по фазі один з одним. У цьому випадку струм веде напругу рівно до $ 90 ^ $$ $$ (\ theta _= \ theta _ + 90 ^) $$. Вираз цієї миттєвої потужності дано формулою

$$ p = -Q \ sin (2 \ omega t) $$ (1.15)

У цій схемі не відбувається перетворення енергії з електричної в неелектричну, оскільки середня потужність дорівнює нулю. У чисто ємнісній схемі потужність постійно передається між джерелом, що подає потужність, і електричним полем, пов'язаним з ємнісними елементами. На малюнку 1.5 зображена миттєва потужність для суто ємнісної схеми, припускаючи $$ \ omega = 377 \ mathrm< rads/s>$$ і Q = -1 VAR.

Рисунок 1.5 Миттєва реальна потужність та середня потужність для суто індуктивної схеми

Розуміння фактора потужності

Цей кут $$ (\ theta _- \ theta _) $$ відіграє значну роль у обчисленні як середньої, так і реактивної потужності і відомий як коефіцієнт потужності кут. Отримання косинуса цього кута дає те, що відоме як коефіцієнт потужності, скорочено до pf, а прийняття синуса цього кута відоме як реактивний фактор, укорочений до частоти Це можна позначити як:

$$ \ mathrm = \ cos (\ theta _- \ theta _) $$ (1,16)

$$ \ mathrm = \ sin (\ theta _- \ theta _) $$ (1,17)

Щоб повністю описати кут коефіцієнта потужності коефіцієнт відставання потужності або провідний фактор потужності використовуються терміни. Якщо коефіцієнт потужності відстає, струм відстає від напруги (тобто присутня індуктивне навантаження). З іншого боку, якщо коефіцієнт потужності веде, напруга струму веде (тобто є ємнісне навантаження).

Розрахунок концепцій живлення змінного струму

Навантаження, що включає 480 $$ \ Omega $$ резистор паралельно $ $ \ frac \ mu F $$ конденсатору, підключено через клеми синусоїдального джерела змінної напруги $$ v _ $$, де $$ v_ = 240 \ cos (5000т) \ mathrm< V>$$

А) Яке пікове значення миттєвої потужності, що подається джерелом живлення?

Розрахунок ємнісного реактивного опору:

Розрахунок реактивної потужності, отриманої джерелом:

Розрахунок пікового значення миттєвої поданої потужності:

Б) Яке пікове значення миттєвої потужності, поглиненої джерелом?

В) Яка середня потужність, що подається на вантаж?

Використовуючи рівняння потужності з частини A, $$ = \ frac> $$

Середня потужність $$ P = 60 \ mathrm< V>$$

Г) Яка реактивна потужність, що подається на вантаж?

Використовуючи рівняння реактивної потужності в частині A, $$ = \ frac> $$

E) Чи поглинає навантаження або створює намагнічує вар?

Використовуючи рівняння реактивної потужності з частини A, $$ = \ frac> $$

$$ Q = -80 \ mathrm< VAR>$$ Від’ємне значення означає, що навантаження створює намагнічуючі вари.

Е) Що таке коефіцієнт потужності?

Використовуючи рівняння коефіцієнта потужності, $$ = \ frac + \ frac> $$

Отже, коефіцієнт потужності становить $$ pf = 0.6 $$ провідним

Ж) Що таке реактивний фактор?

Використовуючи рівняння реактивного коефіцієнта, $$ \ sin (0 ^ -53.267 ^) $$

Отже, реактивний коефіцієнт $$ rf = -0,8 $$