Дробові показники

Також називається "Радикали" або "Раціональні показники"

Показники цілого числа

Спочатку розглянемо показники цілого числа:

Показник числа говорить скільки разів використовувати число в a множення.

У цьому прикладі: 8 2 = 8 × 8 = 64

Інший приклад: 5 3 = 5 × 5 × 5 = 125

Дробові показники

Але що, якщо показник степеня - це дріб?

Показник степеня 12 насправді квадратний корінь

Показник степеня 13 є корінь куба

Показник степеня 14 є 4-й корінь

Давайте подивимося, чому на прикладі.

По-перше, Закони показників показують нам, як поводитися з показниками при множенні:

Приклад: x 2 x 2 = (xx) (xx) = xxxx = x 4

Що свідчить про це x 2 x 2 = x (2 + 2) = x 4

Тож спробуємо це з дробовими показниками степеня:

Приклад: Що таке 9 × 9 × ?

9 ½ × 9 ½ = 9 (½ + ½) = 9 (1) = 9

Отже, 9 ½ разів сам дає 9.

Як ми називаємо число, яке, помноживши на себе, дає інше число? Квадратний корінь!

Отже 9 ½ те саме, що √9

Спробуйте інший дріб

Спробуємо ще раз, але з показником у чверть (1/4):

Приклад:

16 ¼ × 16 ¼ × 16 ¼ × 16 ¼ = 16 (¼ + ¼ + ¼ + ¼) = 16 (1) = 16

Отже, 16 ¼, використане 4 рази при множенні, дає 16,

і так 16 ¼ - це 4-й корінь з 16

Загальне правило

Це спрацювало ½, це працювало ¼, насправді це працює загалом:

x 1 /n = The n-й корінь х

Тож ми можемо придумати таке:

Приклад: Що таке 27 1/3 ?

Відповідь: 27 1/3 = 27 = 3

А як щодо більш складних дробів?

А як щодо дробового показника, такого як 4 3/2 ?

Це насправді означає робити a куб (3) та а квадратний корінь (1/2), у довільному порядку.

Дріб (наприклад м/п) можна розбити на дві частини:

частина цілого числа (м), і
дріб (1/п) частина

Отже, тому що m/n = m × (1/n) ми можемо зробити це:

Порядок не має значення, тому він також працює m/n = (1/n) × m:

І ми отримуємо це:

Дробовий показник типу м/п засоби:

Зробіть м-ї потужності, тоді візьміть n-й корінь

АБО Візьміть n-й корінь а потім виконайте м-ї потужності

Приклад: Що таке 4 3/2 ?

4 3/2 = 4 3 × (1/2) = √ (4 3) = √ (4 × 4 × 4) = √ (64) = 8

4 3/2 = 4 (1/2) × 3 = (√4) 3 = (2) 3 = 8

У будь-якому випадку отримує однаковий результат.

Приклад: Що таке 27 4/3 ?

27 4/3 = 27 4 × (1/3) = (27 4) = (531441) = 81

27 4/3 = 27 (1/3) × 4 = (27) 4 = (3) 4 = 81

Це, звичайно, було простіше 2-го шляху!

Зараз. Грайте з графіком!

Подивіться як плавно крива змінюється, коли ви граєте з дробами в цій анімації, це показує, що ця ідея дробових показників добре поєднується:

Почніть з m = 1 та n = 1, потім повільно збільшуйте n, щоб ви могли бачити 1/2, 1/3 та 1/4
Потім спробуйте m = 2 і посуньте n вгору-вниз, щоб побачити дроби, такі як 2/3 тощо
Тепер спробуйте скласти показник -1
Нарешті спробуйте збільшити m, потім зменшити n, потім зменшення м, тоді збільшується n: крива повинна обходити і крутити